Vyřešit (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Vyřešte pro: x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rozviňte výraz \left(5x-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Zvažte \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Roznásobte \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 4x^{2}-1, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Sloučením 25x^{2} a -4x^{2} získáte 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sečtením 4 a 1 získáte 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odečtěte 47 od obou stran.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Odečtěte 47 od 5 a dostanete -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Odečtěte x od obou stran.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Sloučením -20x a -x získáte -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako x^{2}+ax+bx-2. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Jediná taková dvojice představuje systémové řešení.

$$a=-2 b=1$$

Zapište x^{2}-x-2 jako: \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Vytkněte x z výrazu x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Vytkněte společný člen x-2 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-2=0 a x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(5x-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Zvažte \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Roznásobte \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 4x^{2}-1, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Sloučením 25x^{2} a -4x^{2} získáte 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sečtením 4 a 1 získáte 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odečtěte 47 od obou stran.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Odečtěte 47 od 5 a dostanete -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Odečtěte x od obou stran.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Sloučením -20x a -x získáte -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 21 za a, -21 za b a -42 za c.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Umocněte číslo -21 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo -84 číslem -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Přidejte uživatele 441 do skupiny 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Opakem -21 je 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{21±63}{42}, když ± je plus. Přidejte uživatele 21 do skupiny 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Vydělte číslo 84 číslem 42.

$$x=2$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{21±63}{42}, když ± je minus. Odečtěte číslo 63 od čísla 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Vydělte číslo -42 číslem 42.

$$x=-1$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=2 x=-1$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(5x-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Zvažte \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Roznásobte \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 4x^{2}-1, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Sloučením 25x^{2} a -4x^{2} získáte 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sečtením 4 a 1 získáte 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odečtěte x od obou stran.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Sloučením -20x a -x získáte -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Odečtěte 5 od obou stran.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Odečtěte 5 od 47 a dostanete 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Vydělte obě strany hodnotou 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Dělení číslem 21 ruší násobení číslem 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Vydělte číslo -21 číslem 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Vydělte číslo 42 číslem 21.

$$x^{2}-x=2$$

Vydělte -1, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{1}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{1}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Přidejte uživatele 2 do skupiny \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Činitel x^{2}-x+\frac{1}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=2 x=-1$$