Vyřešit (4x-1)(4x+1)=(5x-1)^2

$$( 4 x - 1 ) ( 4 x + 1 ) = ( 5 x - 1 ) ^ { 2 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}\approx 0,849527923$$

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}\approx 0,261583188$$

Postup použití kvadratické rovnice

Zvažte \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Roznásobte \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Výpočtem 4 na 2 získáte 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(5x-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Odečtěte 25x^{2} od obou stran.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Sloučením 16x^{2} a -25x^{2} získáte -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Přidat 10x na obě strany.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$-9x^{2}-1+10x-1=0$$

Odečtěte 1 od -1 a dostanete -2.

$$-9x^{2}-2+10x=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-9x^{2}+10x-2=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -9 za a, 10 za b a -2 za c.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Umocněte číslo 10 na druhou.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+36\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 36 číslem -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-72}}{2\left(-9\right)}$$

Přidejte uživatele 100 do skupiny -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{28}}{2\left(-9\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 28.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -9.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}, když ± je plus. Přidejte uživatele -10 do skupiny 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Vydělte číslo -10+2\sqrt{7} číslem -18.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}, když ± je minus. Odečtěte číslo 2\sqrt{7} od čísla -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Vydělte číslo -10-2\sqrt{7} číslem -18.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9} x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Zvažte \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Roznásobte \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Výpočtem 4 na 2 získáte 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(5x-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Odečtěte 25x^{2} od obou stran.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Sloučením 16x^{2} a -25x^{2} získáte -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Přidat 10x na obě strany.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Přidat 1 na obě strany.

$$-9x^{2}+10x=1+1$$

Sečtením 1 a 1 získáte 2.

$$-9x^{2}+10x=2$$

Vydělte obě strany hodnotou -9.

$$\frac{-9x^{2}+10x}{-9}=\frac{2}{-9}$$

Dělení číslem -9 ruší násobení číslem -9.

$$x^{2}+\frac{10}{-9}x=\frac{2}{-9}$$

Vydělte číslo 10 číslem -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=\frac{2}{-9}$$

Vydělte číslo 2 číslem -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=-\frac{2}{9}$$

Vydělte -\frac{10}{9}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{5}{9}. Potom přidejte čtvereček -\frac{5}{9} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{5}{9} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=-\frac{2}{9}+\frac{25}{81}$$

Připočítejte -\frac{2}{9} ke \frac{25}{81} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=\frac{7}{81}$$

Činitel x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Připočítejte \frac{5}{9} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9} x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$