Vyřešit (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 3x-5 číslem x+2 a slučte stejné členy.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Sloučením 3x^{2} a -x^{2} získáte 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 2, b hodnotou 1 a c hodnotou -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Řešení rovnice x=\frac{-1±9}{4} při ± je plus a při ± je mínus.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

Pokud má být součin ≤0, musí jedna z hodnot x-2 a x+\frac{5}{2} být ≥0 a druhá ≤0. Consider the case when x-2\geq 0 and x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Consider the case when x-2\leq 0 and x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$