Vyřešit (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Rozložit

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Postup řešení

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Roznásobte výraz podle seskupení. Nejprve musí být výraz přepsán jako -10x^{2}+ax+bx+22. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -220 produktu.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Řešením je dvojice se součtem 51.

$$a=55 b=-4$$

Zapište -10x^{2}+51x+22 jako: \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Koeficient -5x v prvním a -2 ve druhé skupině.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-11 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Umocněte číslo 51 na druhou.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Vynásobte číslo 40 číslem 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Přidejte uživatele 2601 do skupiny 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-51±59}{-20}, když ± je plus. Přidejte uživatele -51 do skupiny 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Vykraťte zlomek \frac{8}{-20} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-51±59}{-20}, když ± je minus. Odečtěte číslo 59 od čísla -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Vykraťte zlomek \frac{-110}{-20} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Rozložte původní výraz pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Nahraďte -\frac{2}{5} za x_{1} a \frac{11}{2} za x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Zjednodušte všechny výrazy ve tvaru p-\left(-q\right) na p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Připočítejte \frac{2}{5} ke x zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Odečtěte zlomek \frac{11}{2} od zlomku x tak, že najdete společného jmenovatele a odečtete čitatele. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Vynásobte zlomek \frac{-5x-2}{-5} zlomkem \frac{-2x+11}{-2} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo -5 číslem -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Vykraťte 10, tj. největším společným dělitelem pro -10 a 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Vyhodnotit

$$22+51x-10x^{2}$$