Vyřešit (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rozviňte výraz \left(2x-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Rozviňte výraz \left(x+5\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k x^{2}+10x+25, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Sloučením 4x^{2} a -x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Sloučením -12x a -10x získáte -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odečtěte 25 od 9 a dostanete -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Přidat 23 na obě strany.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Sečtením -16 a 23 získáte 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 3x^{2}+ax+bx+7. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 21 produktu.

$$-1,-21 -3,-7$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Řešením je dvojice se součtem -22.

$$a=-21 b=-1$$

Zapište 3x^{2}-22x+7 jako: \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Koeficient 3x v prvním a -1 ve druhé skupině.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Vytkněte společný člen x-7 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-7=0 a 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(2x-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Rozviňte výraz \left(x+5\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k x^{2}+10x+25, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Sloučením 4x^{2} a -x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Sloučením -12x a -10x získáte -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odečtěte 25 od 9 a dostanete -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Přidat 23 na obě strany.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Sečtením -16 a 23 získáte 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, -22 za b a 7 za c.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo -22 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 484 do skupiny -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Opakem -22 je 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{22±20}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 22 do skupiny 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Vydělte číslo 42 číslem 6.

$$x=7$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{22±20}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 20 od čísla 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{2}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(2x-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Rozviňte výraz \left(x+5\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k x^{2}+10x+25, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Sloučením 4x^{2} a -x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Sloučením -12x a -10x získáte -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odečtěte 25 od 9 a dostanete -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Přidat 16 na obě strany.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Sečtením -23 a 16 získáte -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Vydělte -\frac{22}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{11}{3}. Potom přidejte čtvereček -\frac{11}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{11}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Připočítejte -\frac{7}{3} ke \frac{121}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Činitel x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Připočítejte \frac{11}{3} k oběma stranám rovnice.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$