Vyřešit (2x)^2-12(x+1)geq0

$$( 2 x ) ^ { 2 } - 12 ( x + 1 ) \geq 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in (-\infty,\frac{3-\sqrt{21}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{21}+3}{2},\infty)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Roznásobte \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$4x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -12 číslem x+1.

$$4x^{2}-12x-12\geq 0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-12x-12=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 4, b hodnotou -12 a c hodnotou -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} a x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} a x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} obojí ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\leq 0 x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Zvažte případ, kdy x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} a x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} obojí ≥0.

$$x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$