Vyřešit (2x+5)(5-2x)+(2x-3)^2-2>0

$$( 2 x + 5 ) ( 5 - 2 x ) + ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - 2 > 0$$

Vyřešit pro: x

$$x<\frac{8}{3}$$

Postup řešení

Zvažte \left(2x+5\right)\left(5-2x\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 5 na druhou.

$$25-\left(2x\right)^{2}+\left(2x-3\right)^{2}-2>0$$

Roznásobte \left(2x\right)^{2}.

$$25-2^{2}x^{2}+\left(2x-3\right)^{2}-2>0$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$25-4x^{2}+\left(2x-3\right)^{2}-2>0$$

Rozviňte výraz \left(2x-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25-4x^{2}+4x^{2}-12x+9-2>0$$

Sloučením -4x^{2} a 4x^{2} získáte 0.

$$25-12x+9-2>0$$

Sečtením 25 a 9 získáte 34.

$$34-12x-2>0$$

Odečtěte 2 od 34 a dostanete 32.

$$32-12x>0$$

Odečtěte 32 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$-12x>-32$$

Vydělte obě strany hodnotou -12. Protože je -12 záporné, směr nerovnice se změní.

$$x<\frac{-32}{-12}$$

Vykraťte zlomek \frac{-32}{-12} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty -4.

$$x<\frac{8}{3}$$