Vyřešit (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(2x+4\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Rozviňte výraz \left(3x-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 9x^{2}-12x+4, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Sloučením -9x^{2} a -40x^{2} získáte -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Přidat 205 na obě strany.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Sečtením -4 a 205 získáte 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -5x číslem 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -35x+15x^{2} číslem 7+3x a slučte stejné členy.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Sloučením 16x a -245x získáte -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Sloučením 4x^{2} a -49x^{2} získáte -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Sloučením -229x a 12x získáte -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Sečtením 16 a 201 získáte 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Změňte uspořádání rovnice do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 217 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 45. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=1$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 číslem x-1 a dostanete 45x^{2}-217. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 45, b hodnotou 0 a c hodnotou -217.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte 45x^{2}-217=0 rovnice.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$