Vyřešit (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Vyřešte pro: x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x+3 číslem x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-4 číslem x+40 a slučte stejné členy.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sloučením 3x^{2} a x^{2} získáte 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sloučením -32x a 36x získáte 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odečtěte 160 od -48 a dostanete -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x-8 číslem x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odečtěte 2x^{3} od obou stran.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Sloučením 2x^{3} a -2x^{3} získáte 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Přidat 32x na obě strany.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Sloučením 4x a 32x získáte 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Přidat 8x^{2} na obě strany.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Sloučením 4x^{2} a 8x^{2} získáte 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Odečtěte 128 od obou stran.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Odečtěte 128 od -208 a dostanete -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako x^{2}+ax+bx-28. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -28 produktu.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Řešením je dvojice se součtem 3.

$$a=-4 b=7$$

Zapište x^{2}+3x-28 jako: \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Koeficient x v prvním a 7 ve druhé skupině.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Vytkněte společný člen x-4 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-4=0 a x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x+3 číslem x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-4 číslem x+40 a slučte stejné členy.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sloučením 3x^{2} a x^{2} získáte 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sloučením -32x a 36x získáte 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odečtěte 160 od -48 a dostanete -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x-8 číslem x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odečtěte 2x^{3} od obou stran.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Sloučením 2x^{3} a -2x^{3} získáte 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Přidat 32x na obě strany.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Sloučením 4x a 32x získáte 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Přidat 8x^{2} na obě strany.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Sloučením 4x^{2} a 8x^{2} získáte 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Odečtěte 128 od obou stran.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Odečtěte 128 od -208 a dostanete -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 12 za a, 36 za b a -336 za c.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Umocněte číslo 36 na druhou.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -48 číslem -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Přidejte uživatele 1296 do skupiny 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-36±132}{24}, když ± je plus. Přidejte uživatele -36 do skupiny 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Vydělte číslo 96 číslem 24.

$$x=4$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-36±132}{24}, když ± je minus. Odečtěte číslo 132 od čísla -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Vydělte číslo -168 číslem 24.

$$x=-7$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=4 x=-7$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x+3 číslem x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x-4 číslem x+40 a slučte stejné členy.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sloučením 3x^{2} a x^{2} získáte 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sloučením -32x a 36x získáte 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odečtěte 160 od -48 a dostanete -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x-8 číslem x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odečtěte 2x^{3} od obou stran.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Sloučením 2x^{3} a -2x^{3} získáte 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Přidat 32x na obě strany.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Sloučením 4x a 32x získáte 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Přidat 8x^{2} na obě strany.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Sloučením 4x^{2} a 8x^{2} získáte 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Přidat 208 na obě strany.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Sečtením 128 a 208 získáte 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Vydělte obě strany hodnotou 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Dělení číslem 12 ruší násobení číslem 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Vydělte číslo 36 číslem 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Vydělte číslo 336 číslem 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Vydělte 3, koeficient x termínu 2 k získání \frac{3}{2}. Potom přidejte čtvereček \frac{3}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{3}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Přidejte uživatele 28 do skupiny \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Činitel x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Odečtěte hodnotu \frac{3}{2} od obou stran rovnice.

$$x=4 x=-7$$