Vyřešit (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Vyřešit pro: k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(2k-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -4 číslem 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Odečtěte 12 od 9 a dostanete -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Sloučením -12k a 8k získáte -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 4, b hodnotou -4 a c hodnotou -3.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Proveďte výpočty.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Řešení rovnice k=\frac{4±8}{8} při ± je plus a při ± je mínus.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Pokud má součin představovat záporné číslo, musí mít hodnoty k-\frac{3}{2} a k+\frac{1}{2} opačná znaménka. Předpokládejme, že výraz k-\frac{3}{2} je kladný a výraz k+\frac{1}{2} je záporný.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné k.

$$k\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz k+\frac{1}{2} je kladný a výraz k-\frac{3}{2} je záporný.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$