Vyřešit (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Výpočtem 100 na 2 získáte 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+100\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Sečtením 10000 a 10000 získáte 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x+100\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Sloučením x^{2} a -4x^{2} získáte -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Odečtěte 400x od obou stran.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Sloučením 200x a -400x získáte -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Odečtěte 10000 od obou stran.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Odečtěte 10000 od 20000 a dostanete 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -3x^{2}+ax+bx+10000. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -30000 produktu.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Řešením je dvojice se součtem -200.

$$a=100 b=-300$$

Zapište -3x^{2}-200x+10000 jako: \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Koeficient -x v prvním a -100 ve druhé skupině.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Vytkněte společný člen 3x-100 s využitím distributivnosti.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 3x-100=0 a -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Postup použití kvadratické rovnice

Výpočtem 100 na 2 získáte 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+100\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Sečtením 10000 a 10000 získáte 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x+100\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Sloučením x^{2} a -4x^{2} získáte -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Odečtěte 400x od obou stran.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Sloučením 200x a -400x získáte -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Odečtěte 10000 od obou stran.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Odečtěte 10000 od 20000 a dostanete 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -3 za a, -200 za b a 10000 za c.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Umocněte číslo -200 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslem 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Přidejte uživatele 40000 do skupiny 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Opakem -200 je 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{200±400}{-6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 200 do skupiny 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Vydělte číslo 600 číslem -6.

$$x=-100$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{200±400}{-6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 400 od čísla 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Vykraťte zlomek \frac{-200}{-6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Výpočtem 100 na 2 získáte 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+100\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Sečtením 10000 a 10000 získáte 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x+100\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Sloučením x^{2} a -4x^{2} získáte -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Odečtěte 400x od obou stran.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Sloučením 200x a -400x získáte -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Odečtěte 20000 od obou stran.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Odečtěte 20000 od 10000 a dostanete -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Vydělte obě strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Dělení číslem -3 ruší násobení číslem -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Vydělte číslo -200 číslem -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Vydělte číslo -10000 číslem -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Vydělte \frac{200}{3}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{100}{3}. Potom přidejte čtvereček \frac{100}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{100}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Připočítejte \frac{10000}{3} ke \frac{10000}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Činitel x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Odečtěte hodnotu \frac{100}{3} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$