Vyřešit (1+1+alpha)^3=27

$$( 1 + 1 + \alpha ) ^ { 3 } = 27$$

Vyřešte pro: α

$$\alpha =1$$

Postup řešení

Sečtením 1 a 1 získáte 2.

$$\left(2+\alpha \right)^{3}=27$$

Rozviňte výraz \left(2+\alpha \right)^{3} podle binomické věty \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$8+12\alpha +6\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=27$$

Odečtěte 27 od obou stran.

$$8+12\alpha +6\alpha ^{2}+\alpha ^{3}-27=0$$

Odečtěte 27 od 8 a dostanete -19.

$$-19+12\alpha +6\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=0$$

Změňte uspořádání rovnice do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$\alpha ^{3}+6\alpha ^{2}+12\alpha -19=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -19 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±19,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$\alpha =1$$

Podle faktoru binomická \alpha -k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo \alpha ^{3}+6\alpha ^{2}+12\alpha -19 číslem \alpha -1 a dostanete \alpha ^{2}+7\alpha +19. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$\alpha ^{2}+7\alpha +19=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 7 a c hodnotou 19.

$$\alpha =\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 19}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$\alpha =\frac{-7±\sqrt{-27}}{2}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$\alpha \in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$\alpha =1$$