Vyřešit (frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1})

$$( \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } )$$

Vyhodnotit

$$2\sqrt{2}+3\approx 5,828427125$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} vynásobením čitatele a jmenovatele \sqrt{2}+1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Zvažte \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

Umocněte číslo \sqrt{2} na druhou. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}$$

Odečtěte 1 od 2 a dostanete 1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}$$

Vydělením čísla číslem 1 dostaneme číslo samotné.

$$\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)$$

Vynásobením \sqrt{2}+1 a \sqrt{2}+1 získáte \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{2}+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$2+2\sqrt{2}+1$$

Sečtením 2 a 1 získáte 3.

$$3+2\sqrt{2}$$