Vyřešit y^2+1/2y-1/4=0

$${ y }^{ 2 } + \frac{ 1 }{ 2 } y- \frac{ 1 }{ 4 } =0$$

Vyřešte pro: y

$$y=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\approx 0,309016994$$

$$y=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}\approx -0,809016994$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, \frac{1}{2} za b a -\frac{1}{4} za c.

$$y=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{4}\right)}}{2}$$

Umocněte zlomek \frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$y=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{4}\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -\frac{1}{4}.

$$y=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+1}}{2}$$

Přidejte uživatele \frac{1}{4} do skupiny 1.

$$y=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{5}{4}}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla \frac{5}{4}.

$$y=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici y=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -\frac{1}{2} do skupiny \frac{\sqrt{5}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{5}-1}{2\times 2}$$

Vydělte číslo \frac{-1+\sqrt{5}}{2} číslem 2.

$$y=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$

Teď vyřešte rovnici y=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \frac{\sqrt{5}}{2} od čísla -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{5}-1}{2\times 2}$$

Vydělte číslo \frac{-1-\sqrt{5}}{2} číslem 2.

$$y=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$y=\frac{\sqrt{5}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}=0$$

Připočítejte \frac{1}{4} k oběma stranám rovnice.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=-\left(-\frac{1}{4}\right)$$

Odečtením čísla -\frac{1}{4} od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=-\left(-\frac{1}{4}\right)$$

Odečtěte číslo -\frac{1}{4} od čísla 0.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{1}{4}$$

Vydělte \frac{1}{2}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{1}{4}. Potom přidejte čtvereček \frac{1}{4} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{1}{4} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Připočítejte \frac{1}{4} ke \frac{1}{16} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Činitel y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{4} od obou stran rovnice.

$$y=\frac{\sqrt{5}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$$