Vyřešit x^5+1/x^5=123

$${ x }^{ 5 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 5 } } =123$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x\in \frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{6\pi i}{5}}\sqrt[5]{55\sqrt{5}+123}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{8\pi i}{5}}\sqrt[5]{55\sqrt{5}+123}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{4\pi i}{5}}\sqrt[5]{55\sqrt{5}+123}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{55\sqrt{5}+123}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{55\sqrt{5}+123}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{8\pi i}{5}}\sqrt[5]{123-55\sqrt{5}}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{6\pi i}{5}}\sqrt[5]{123-55\sqrt{5}}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{4\pi i}{5}}\sqrt[5]{123-55\sqrt{5}}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{123-55\sqrt{5}}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{123-55\sqrt{5}}}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Proměnná x se nemůže rovnat hodnotě 0, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou x^{5}.

$$x^{5}x^{5}+1=123x^{5}$$

Pokud chcete vynásobit mocniny stejného mocněnce, sečtěte jejich mocnitele. Sečtením 5 a 5 získáte 10.

$$x^{10}+1=123x^{5}$$

Odečtěte 123x^{5} od obou stran.

$$x^{10}+1-123x^{5}=0$$

Nahraďtet za x^{5}.

$$t^{2}-123t+1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -123 a c hodnotou 1.

$$t=\frac{-\left(-123\right)±\sqrt{\left(-123\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{123±55\sqrt{5}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{123±55\sqrt{5}}{2} rovnice.

$$t=\frac{55\sqrt{5}+123}{2} t=\frac{123-55\sqrt{5}}{2}$$

Od x=t^{5} jsou řešení získána vyřešením rovnice pro každý t.

$$x=-ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}} x=-e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}} x=ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}} x=e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}} x=-ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}} x=-e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}} x=ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}} x=e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}}$$

Proměnná x se nemůže rovnat 0.

$$x=\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}} x=e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}}\text{, }x\neq 0 x=ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}}\text{, }x\neq 0 x=-e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}}\text{, }x\neq 0 x=-ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}} x=e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}}\text{, }x\neq 0 x=ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}}\text{, }x\neq 0 x=-e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}}\text{, }x\neq 0 x=-ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}}\text{, }x\neq 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{123-55\sqrt{5}}}{2}\approx 0,381966011$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{4}{5}} \sqrt[5]{55 \sqrt{5} + 123}}{2} \approx 2,618033989$$

Postup použití kvadratické rovnice

Proměnná x se nemůže rovnat hodnotě 0, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou x^{5}.

$$x^{5}x^{5}+1=123x^{5}$$

Pokud chcete vynásobit mocniny stejného mocněnce, sečtěte jejich mocnitele. Sečtením 5 a 5 získáte 10.

$$x^{10}+1=123x^{5}$$

Odečtěte 123x^{5} od obou stran.

$$x^{10}+1-123x^{5}=0$$

Nahraďtet za x^{5}.

$$t^{2}-123t+1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -123 a c hodnotou 1.

$$t=\frac{-\left(-123\right)±\sqrt{\left(-123\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{123±55\sqrt{5}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{123±55\sqrt{5}}{2} rovnice.

$$t=\frac{55\sqrt{5}+123}{2} t=\frac{123-55\sqrt{5}}{2}$$

Od x=t^{5} jsou řešení získána vyhodnocením x=\sqrt[5]{t} pro každou t.

$$x=\sqrt[5]{\frac{55\sqrt{5}+123}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{123-55\sqrt{5}}{2}}$$