Vyřešit x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -1 a c hodnotou -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Pokud má součin představovat kladné číslo, musí být hodnoty x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} buď obě záporné, nebo obě kladné. Předpokládejme, že oba výrazy x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} jsou záporné.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Předpokládejme, že oba výrazy x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} jsou kladné.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$