Vyřešit x^2-x-1=0

$${ x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x^{2}-x-1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -1 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Opakem -1 je 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 1 do skupiny \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{5} od čísla 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=0$$

Připočítejte 1 k oběma stranám rovnice.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odečtením čísla -1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Odečtěte číslo -1 od čísla 0.

$$x^{2}-x=1$$

Koeficient (tj. -1) členu x vydělte číslem 2, abyste získali -\frac{1}{2}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Rozložte rovnici x^{2}-x+\frac{1}{4}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$