Vyřešit x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -3 a c hodnotou 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Řešení rovnice x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} při ± je plus a při ± je mínus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Pokud má součin představovat záporné číslo, musí mít hodnoty x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} a x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} opačná znaménka. Předpokládejme, že výraz x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} je kladný a výraz x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} je záporný.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} je kladný a výraz x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} je záporný.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$