Vyřešit x^2+left(5-xright)^2-16=2x(5-x)

$${ x }^{ 2 } + { \left(5-x \right) }^{ 2 } -16=2x(5-x)$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rozviňte výraz \left(5-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+25-10x+x^{2}-16=2x\left(5-x\right)$$

Sloučením x^{2} a x^{2} získáte 2x^{2}.

$$2x^{2}+25-10x-16=2x\left(5-x\right)$$

Odečtěte 16 od 25 a dostanete 9.

$$2x^{2}+9-10x=2x\left(5-x\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x číslem 5-x.

$$2x^{2}+9-10x=10x-2x^{2}$$

Odečtěte 10x od obou stran.

$$2x^{2}+9-10x-10x=-2x^{2}$$

Sloučením -10x a -10x získáte -20x.

$$2x^{2}+9-20x=-2x^{2}$$

Přidat 2x^{2} na obě strany.

$$2x^{2}+9-20x+2x^{2}=0$$

Sloučením 2x^{2} a 2x^{2} získáte 4x^{2}.

$$4x^{2}+9-20x=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$4x^{2}-20x+9=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 4x^{2}+ax+bx+9. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-20 ab=4\times 9=36$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 36 produktu.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Řešením je dvojice se součtem -20.

$$a=-18 b=-2$$

Zapište 4x^{2}-20x+9 jako: \left(4x^{2}-18x\right)+\left(-2x+9\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(-2x+9\right)$$

Koeficient 2x v prvním a -1 ve druhé skupině.

$$2x\left(2x-9\right)-\left(2x-9\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-9 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-9\right)\left(2x-1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-9=0 a 2x-1=0.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{1}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(5-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+25-10x+x^{2}-16=2x\left(5-x\right)$$

Sloučením x^{2} a x^{2} získáte 2x^{2}.

$$2x^{2}+25-10x-16=2x\left(5-x\right)$$

Odečtěte 16 od 25 a dostanete 9.

$$2x^{2}+9-10x=2x\left(5-x\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x číslem 5-x.

$$2x^{2}+9-10x=10x-2x^{2}$$

Odečtěte 10x od obou stran.

$$2x^{2}+9-10x-10x=-2x^{2}$$

Sloučením -10x a -10x získáte -20x.

$$2x^{2}+9-20x=-2x^{2}$$

Přidat 2x^{2} na obě strany.

$$2x^{2}+9-20x+2x^{2}=0$$

Sloučením 2x^{2} a 2x^{2} získáte 4x^{2}.

$$4x^{2}+9-20x=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}-20x+9=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -20 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -20 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 9}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem 9.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-144}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 400 do skupiny -144.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±16}{2\times 4}$$

Opakem -20 je 20.

$$x=\frac{20±16}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{20±16}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{20±16}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele 20 do skupiny 16.

$$x=\frac{36}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{36}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{20±16}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 16 od čísla 20.

$$x=\frac{4}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{4}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{1}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(5-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+25-10x+x^{2}-16=2x\left(5-x\right)$$

Sloučením x^{2} a x^{2} získáte 2x^{2}.

$$2x^{2}+25-10x-16=2x\left(5-x\right)$$

Odečtěte 16 od 25 a dostanete 9.

$$2x^{2}+9-10x=2x\left(5-x\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x číslem 5-x.

$$2x^{2}+9-10x=10x-2x^{2}$$

Odečtěte 10x od obou stran.

$$2x^{2}+9-10x-10x=-2x^{2}$$

Sloučením -10x a -10x získáte -20x.

$$2x^{2}+9-20x=-2x^{2}$$

Přidat 2x^{2} na obě strany.

$$2x^{2}+9-20x+2x^{2}=0$$

Sloučením 2x^{2} a 2x^{2} získáte 4x^{2}.

$$4x^{2}+9-20x=0$$

Odečtěte 9 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$4x^{2}-20x=-9$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Vydělte číslo -20 číslem 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{9}{4}$$

Vydělte -5, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{5}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{5}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{5}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-9+25}{4}$$

Připočítejte -\frac{9}{4} ke \frac{25}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=4$$

Činitel x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=4$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{5}{2}=2 x-\frac{5}{2}=-2$$

Připočítejte \frac{5}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{1}{2}$$