Vyřešit t^24-t^4

$${ t }^{ 24 } - { t }^{ 4 }$$

Rozložit

$$\left(t-1\right)\left(t+1\right)\left(t^{2}+1\right)t^{4}\left(t^{4}-t^{3}+t^{2}-t+1\right)\left(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1\right)\left(t^{8}-t^{6}+t^{4}-t^{2}+1\right)$$

Postup řešení

Vytkněte t^{4} před závorku.

$$t^{4}\left(t^{20}-1\right)$$

Zvažte t^{20}-1. Zapište t^{20}-1 jako: \left(t^{10}\right)^{2}-1^{2}. Rozdíl druhých mocnin lze rozložit pomocí pravidla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(t^{10}-1\right)\left(t^{10}+1\right)$$

Zvažte t^{10}-1. Zapište t^{10}-1 jako: \left(t^{5}\right)^{2}-1^{2}. Rozdíl druhých mocnin lze rozložit pomocí pravidla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(t^{5}-1\right)\left(t^{5}+1\right)$$

Zvažte t^{5}-1. Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -1 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Jeden takový kořen je 1. Součinitele polynomu rozdělíte t-1.

$$\left(t-1\right)\left(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1\right)$$

Zvažte t^{5}+1. Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 1 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Jeden takový kořen je -1. Součinitele polynomu rozdělíte t+1.

$$\left(t+1\right)\left(t^{4}-t^{3}+t^{2}-t+1\right)$$

Zvažte t^{10}+1. Najděte jeden součinitel formuláře t^{k}+m, kde t^{k} rozdělí monomial s nejvyšším t^{10} příkonem a m rozdělí konstantní koeficient 1. Jeden takový faktor je t^{2}+1. Součinitele polynomu rozdělíte tímto faktorem.

$$\left(t^{2}+1\right)\left(t^{8}-t^{6}+t^{4}-t^{2}+1\right)$$

Přepište celý rozložený výraz. Následující polynomy se nesoučinitelí, protože nemají žádné rozumné kořeny: t^{4}-t^{3}+t^{2}-t+1,t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1,t^{8}-t^{6}+t^{4}-t^{2}+1,t^{2}+1.

$$t^{4}\left(t-1\right)\left(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1\right)\left(t+1\right)\left(t^{4}-t^{3}+t^{2}-t+1\right)\left(t^{2}+1\right)\left(t^{8}-t^{6}+t^{4}-t^{2}+1\right)$$

Vyhodnotit

$$t^{4}\left(t^{20}-1\right)$$