Vyřešit left(x-3right)^2left(10-17xright)^2=0

$${ \left(x-3 \right) }^{ 2 } { \left(10-17x \right) }^{ 2 } = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{10}{17}\approx 0,588235294$$

$$x=3$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(x^{2}-6x+9\right)\left(10-17x\right)^{2}=0$$

Rozviňte výraz \left(10-17x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(x^{2}-6x+9\right)\left(100-340x+289x^{2}\right)=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}-6x+9 číslem 100-340x+289x^{2} a slučte stejné členy.

$$4741x^{2}-2074x^{3}+289x^{4}-3660x+900=0$$

Změňte uspořádání rovnice do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$289x^{4}-2074x^{3}+4741x^{2}-3660x+900=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 900 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 289. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{900}{289},±\frac{900}{17},±900,±\frac{450}{289},±\frac{450}{17},±450,±\frac{300}{289},±\frac{300}{17},±300,±\frac{225}{289},±\frac{225}{17},±225,±\frac{180}{289},±\frac{180}{17},±180,±\frac{150}{289},±\frac{150}{17},±150,±\frac{100}{289},±\frac{100}{17},±100,±\frac{90}{289},±\frac{90}{17},±90,±\frac{75}{289},±\frac{75}{17},±75,±\frac{60}{289},±\frac{60}{17},±60,±\frac{50}{289},±\frac{50}{17},±50,±\frac{45}{289},±\frac{45}{17},±45,±\frac{36}{289},±\frac{36}{17},±36,±\frac{30}{289},±\frac{30}{17},±30,±\frac{25}{289},±\frac{25}{17},±25,±\frac{20}{289},±\frac{20}{17},±20,±\frac{18}{289},±\frac{18}{17},±18,±\frac{15}{289},±\frac{15}{17},±15,±\frac{12}{289},±\frac{12}{17},±12,±\frac{10}{289},±\frac{10}{17},±10,±\frac{9}{289},±\frac{9}{17},±9,±\frac{6}{289},±\frac{6}{17},±6,±\frac{5}{289},±\frac{5}{17},±5,±\frac{4}{289},±\frac{4}{17},±4,±\frac{3}{289},±\frac{3}{17},±3,±\frac{2}{289},±\frac{2}{17},±2,±\frac{1}{289},±\frac{1}{17},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=3$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 289x^{4}-2074x^{3}+4741x^{2}-3660x+900 číslem x-3 a dostanete 289x^{3}-1207x^{2}+1120x-300. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$289x^{3}-1207x^{2}+1120x-300=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -300 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 289. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{300}{289},±\frac{300}{17},±300,±\frac{150}{289},±\frac{150}{17},±150,±\frac{100}{289},±\frac{100}{17},±100,±\frac{75}{289},±\frac{75}{17},±75,±\frac{60}{289},±\frac{60}{17},±60,±\frac{50}{289},±\frac{50}{17},±50,±\frac{30}{289},±\frac{30}{17},±30,±\frac{25}{289},±\frac{25}{17},±25,±\frac{20}{289},±\frac{20}{17},±20,±\frac{15}{289},±\frac{15}{17},±15,±\frac{12}{289},±\frac{12}{17},±12,±\frac{10}{289},±\frac{10}{17},±10,±\frac{6}{289},±\frac{6}{17},±6,±\frac{5}{289},±\frac{5}{17},±5,±\frac{4}{289},±\frac{4}{17},±4,±\frac{3}{289},±\frac{3}{17},±3,±\frac{2}{289},±\frac{2}{17},±2,±\frac{1}{289},±\frac{1}{17},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=3$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 289x^{3}-1207x^{2}+1120x-300 číslem x-3 a dostanete 289x^{2}-340x+100. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$289x^{2}-340x+100=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 289, b hodnotou -340 a c hodnotou 100.

$$x=\frac{-\left(-340\right)±\sqrt{\left(-340\right)^{2}-4\times 289\times 100}}{2\times 289}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{340±0}{578}$$

Řešení jsou stejná.

$$x=\frac{10}{17}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=3 x=\frac{10}{17}$$