Vyřešit left(x+2right)^3-23=41

$${ \left(x+2 \right) }^{ 3 } -23 = 41$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=2$$

$$x=-4+2\sqrt{3}i\approx -4+3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i-4\approx -4-3,464101615i$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x+2\right)^{3} podle binomické věty \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$x^{3}+6x^{2}+12x+8-23=41$$

Odečtěte 23 od 8 a dostanete -15.

$$x^{3}+6x^{2}+12x-15=41$$

Odečtěte 41 od obou stran.

$$x^{3}+6x^{2}+12x-15-41=0$$

Odečtěte 41 od -15 a dostanete -56.

$$x^{3}+6x^{2}+12x-56=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -56 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±56,±28,±14,±8,±7,±4,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=2$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}+6x^{2}+12x-56 číslem x-2 a dostanete x^{2}+8x+28. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+8x+28=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 8 a c hodnotou 28.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 28}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-48}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x^{2}+8x+28=0 rovnice.

$$x=-2i\sqrt{3}-4 x=-4+2i\sqrt{3}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=2 x=-2i\sqrt{3}-4 x=-4+2i\sqrt{3}$$

Vyřešte pro: x

$$x=2$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x+2\right)^{3} podle binomické věty \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$x^{3}+6x^{2}+12x+8-23=41$$

Odečtěte 23 od 8 a dostanete -15.

$$x^{3}+6x^{2}+12x-15=41$$

Odečtěte 41 od obou stran.

$$x^{3}+6x^{2}+12x-15-41=0$$

Odečtěte 41 od -15 a dostanete -56.

$$x^{3}+6x^{2}+12x-56=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -56 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±56,±28,±14,±8,±7,±4,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=2$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}+6x^{2}+12x-56 číslem x-2 a dostanete x^{2}+8x+28. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+8x+28=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 8 a c hodnotou 28.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 28}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-48}}{2}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=2$$