Vyřešit left(4+xright)^2+left(3+xright)^2=49

$${ \left(4+x \right) }^{ 2 } + { \left(3+x \right) }^{ 2 } = 49$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{97} - 7}{2} \approx 1,424428901$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-7}{2}\approx -8,424428901$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(4+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16+8x+x^{2}+\left(3+x\right)^{2}=49$$

Rozviňte výraz \left(3+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16+8x+x^{2}+9+6x+x^{2}=49$$

Sečtením 16 a 9 získáte 25.

$$25+8x+x^{2}+6x+x^{2}=49$$

Sloučením 8x a 6x získáte 14x.

$$25+14x+x^{2}+x^{2}=49$$

Sloučením x^{2} a x^{2} získáte 2x^{2}.

$$25+14x+2x^{2}=49$$

Odečtěte 49 od obou stran.

$$25+14x+2x^{2}-49=0$$

Odečtěte 49 od 25 a dostanete -24.

$$-24+14x+2x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$2x^{2}+14x-24=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 2 za a, 14 za b a -24 za c.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Umocněte číslo 14 na druhou.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 2.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslem -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+192}}{2\times 2}$$

Přidejte uživatele 196 do skupiny 192.

$$x=\frac{-14±\sqrt{388}}{2\times 2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 388.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 2.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{97}}{4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-14±2\sqrt{97}}{4}, když ± je plus. Přidejte uživatele -14 do skupiny 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}-14}{4}$$

Vydělte číslo -14+2\sqrt{97} číslem 4.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-14±2\sqrt{97}}{4}, když ± je minus. Odečtěte číslo 2\sqrt{97} od čísla -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{97}-14}{4}$$

Vydělte číslo -14-2\sqrt{97} číslem 4.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-7}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{2} x=\frac{-\sqrt{97}-7}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(4+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16+8x+x^{2}+\left(3+x\right)^{2}=49$$

Rozviňte výraz \left(3+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16+8x+x^{2}+9+6x+x^{2}=49$$

Sečtením 16 a 9 získáte 25.

$$25+8x+x^{2}+6x+x^{2}=49$$

Sloučením 8x a 6x získáte 14x.

$$25+14x+x^{2}+x^{2}=49$$

Sloučením x^{2} a x^{2} získáte 2x^{2}.

$$25+14x+2x^{2}=49$$

Odečtěte 25 od obou stran.

$$14x+2x^{2}=49-25$$

Odečtěte 25 od 49 a dostanete 24.

$$14x+2x^{2}=24$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+14x=24$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}+14x}{2}=\frac{24}{2}$$

Dělení číslem 2 ruší násobení číslem 2.

$$x^{2}+\frac{14}{2}x=\frac{24}{2}$$

Vydělte číslo 14 číslem 2.

$$x^{2}+7x=\frac{24}{2}$$

Vydělte číslo 24 číslem 2.

$$x^{2}+7x=12$$

Vydělte 7, koeficient x termínu 2 k získání \frac{7}{2}. Potom přidejte čtvereček \frac{7}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{7}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=12+\frac{49}{4}$$

Přidejte uživatele 12 do skupiny \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{97}{4}$$

Činitel x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{97}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{97}}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{97}}{2}$$

Odečtěte hodnotu \frac{7}{2} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{2} x=\frac{-\sqrt{97}-7}{2}$$