Vyřešit left(2x-5right)^2+x^2+6(2x-5)-12x+20=0

$${ \left(2x-5 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } +6(2x-5)-12x+20=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=1$$

$$x=3$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rozviňte výraz \left(2x-5\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Sloučením 4x^{2} a x^{2} získáte 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 6 číslem 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Sloučením -20x a 12x získáte -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Odečtěte 30 od 25 a dostanete -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Sloučením -8x a -12x získáte -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Sečtením -5 a 20 získáte 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako x^{2}+ax+bx+3. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Jediná taková dvojice představuje systémové řešení.

$$a=-3 b=-1$$

Zapište x^{2}-4x+3 jako: \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Koeficient x v prvním a -1 ve druhé skupině.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Vytkněte společný člen x-3 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-3=0 a x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(2x-5\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Sloučením 4x^{2} a x^{2} získáte 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 6 číslem 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Sloučením -20x a 12x získáte -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Odečtěte 30 od 25 a dostanete -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Sloučením -8x a -12x získáte -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Sečtením -5 a 20 získáte 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 5 za a, -20 za b a 15 za c.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Umocněte číslo -20 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslem 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Přidejte uživatele 400 do skupiny -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Opakem -20 je 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{20±10}{10}, když ± je plus. Přidejte uživatele 20 do skupiny 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Vydělte číslo 30 číslem 10.

$$x=3$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{20±10}{10}, když ± je minus. Odečtěte číslo 10 od čísla 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Vydělte číslo 10 číslem 10.

$$x=1$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=3 x=1$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(2x-5\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Sloučením 4x^{2} a x^{2} získáte 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 6 číslem 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Sloučením -20x a 12x získáte -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Odečtěte 30 od 25 a dostanete -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Sloučením -8x a -12x získáte -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Sečtením -5 a 20 získáte 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Odečtěte 15 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Dělení číslem 5 ruší násobení číslem 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Vydělte číslo -20 číslem 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Vydělte číslo -15 číslem 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Vydělte -4, koeficient x termínu 2 k získání -2. Potom přidejte čtvereček -2 na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Umocněte číslo -2 na druhou.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Přidejte uživatele -3 do skupiny 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Činitel x^{2}-4x+4. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$x=3 x=1$$