Vyřešit {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Postup použití kvadratické rovnice

Vynásobením 0 a 5 získáte 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Výsledkem násobení nulou je nula.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Výpočtem 0 na 2 získáte 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(5-15x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Sečtením 0 a 25 získáte 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(1+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Odečtěte 1 od 25 a dostanete 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Odečtěte 2x od obou stran.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Sloučením -150x a -2x získáte -152x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Sloučením 225x^{2} a -x^{2} získáte 224x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 224 za a, -152 za b a 24 za c.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Umocněte číslo -152 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Vynásobte číslo -896 číslem 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Přidejte uživatele 23104 do skupiny -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Opakem -152 je 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{152±40}{448}, když ± je plus. Přidejte uživatele 152 do skupiny 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Vykraťte zlomek \frac{192}{448} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 64.

$$x=\frac{3}{7}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{152±40}{448}, když ± je minus. Odečtěte číslo 40 od čísla 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Vykraťte zlomek \frac{112}{448} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 112.

$$x=\frac{1}{4}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Vynásobením 0 a 5 získáte 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Výsledkem násobení nulou je nula.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Výpočtem 0 na 2 získáte 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(5-15x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Sečtením 0 a 25 získáte 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(1+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Odečtěte 2x od obou stran.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Sloučením -150x a -2x získáte -152x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Sloučením 225x^{2} a -x^{2} získáte 224x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Odečtěte 25 od obou stran.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Odečtěte 25 od 1 a dostanete -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Vydělte obě strany hodnotou 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Dělení číslem 224 ruší násobení číslem 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Vykraťte zlomek \frac{-152}{224} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Vykraťte zlomek \frac{-24}{224} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Vydělte -\frac{19}{28}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{19}{56}. Potom přidejte čtvereček -\frac{19}{56} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{19}{56} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Připočítejte -\frac{3}{28} ke \frac{361}{3136} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Činitel x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Připočítejte \frac{19}{56} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$