Vyřešit {left(sqrt{2}+sqrt{5}right)}^2-{left(2+sqrt{10}right)}^2+sqrt{90}+left(2sqrt{2}-1right)left(2sqrt{2}+1right)

$${ \left( \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 } - { \left(2+ \sqrt{ 10 } \right) }^{ 2 } + \sqrt{ 90 } + \left( 2 \sqrt{ 2 } -1 \right) \left( 2 \sqrt{ 2 } +1 \right)$$

Vyhodnotit

$$\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Chcete-li vynásobit \sqrt{2} a \sqrt{5}, vynásobte čísla v druhé odmocnině.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Sečtením 2 a 5 získáte 7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{10}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Mocnina hodnoty \sqrt{10} je 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Sečtením 4 a 10 získáte 14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 14+4\sqrt{10}, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Odečtěte 14 od 7 a dostanete -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Sloučením 2\sqrt{10} a -4\sqrt{10} získáte -2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Rozložte 90=3^{2}\times 10 na součin. Přepište druhou odmocninu součinu \sqrt{3^{2}\times 10} jako součin druhých odmocnin \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Vypočítejte druhou odmocninu čísla 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Sloučením -2\sqrt{10} a 3\sqrt{10} získáte \sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Zvažte \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Roznásobte \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Vynásobením 4 a 2 získáte 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Odečtěte 1 od 8 a dostanete 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Sečtením -7 a 7 získáte 0.

$$\sqrt{10}$$