Vyřešit {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Vyhodnotit

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} vynásobením čitatele a jmenovatele \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Zvažte \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Umocněte číslo \sqrt{3} na druhou. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Odečtěte 1 od 3 a dostanete 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Vynásobením \sqrt{3}+1 a \sqrt{3}+1 získáte \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{3}+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Sečtením 3 a 1 získáte 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Když jednotlivé členy vzorce 4+2\sqrt{3} vydělíte 2, dostanete 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Sečtením 4 a 3 získáte 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Roznásobit

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} vynásobením čitatele a jmenovatele \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Zvažte \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Umocněte číslo \sqrt{3} na druhou. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Odečtěte 1 od 3 a dostanete 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Vynásobením \sqrt{3}+1 a \sqrt{3}+1 získáte \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{3}+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Sečtením 3 a 1 získáte 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Když jednotlivé členy vzorce 4+2\sqrt{3} vydělíte 2, dostanete 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Sečtením 4 a 3 získáte 7.

$$7+4\sqrt{3}$$