Vyřešit sqrt{x-4}-sqrt{4x-27}+sqrt{x-9}=0

$$\sqrt{ x-4 } - \sqrt{ 4x-27 } + \sqrt{ x-9 } =0$$

Vyřešte pro: x

$$x=13$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu -\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{x-4}=-\left(-\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k -\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$\sqrt{x-4}=-\left(-\sqrt{4x-27}\right)-\sqrt{x-9}$$

Opakem -\sqrt{4x-27} je \sqrt{4x-27}.

$$\sqrt{x-4}=\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-4} na 2 získáte x-4.

$$x-4=\left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x-4=\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{4x-27} na 2 získáte 4x-27.

$$x-4=4x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-9} na 2 získáte x-9.

$$x-4=4x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+x-9$$

Sloučením 4x a x získáte 5x.

$$x-4=5x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}-9$$

Odečtěte 9 od -27 a dostanete -36.

$$x-4=5x-36-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Odečtěte hodnotu 5x-36 od obou stran rovnice.

$$x-4-\left(5x-36\right)=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 5x-36, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$x-4-5x+36=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Sloučením x a -5x získáte -4x.

$$-4x-4+36=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Sečtením -4 a 36 získáte 32.

$$-4x+32=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-4x+32\right)^{2}=\left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-4x+32\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Výpočtem -2 na 2 získáte 4.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{4x-27} na 2 získáte 4x-27.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(4x-27\right)\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-9} na 2 získáte x-9.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(4x-27\right)\left(x-9\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem 4x-27.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(16x-108\right)\left(x-9\right)$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 16x-108 každým členem výrazu x-9.

$$16x^{2}-256x+1024=16x^{2}-144x-108x+972$$

Sloučením -144x a -108x získáte -252x.

$$16x^{2}-256x+1024=16x^{2}-252x+972$$

Odečtěte 16x^{2} od obou stran.

$$16x^{2}-256x+1024-16x^{2}=-252x+972$$

Sloučením 16x^{2} a -16x^{2} získáte 0.

$$-256x+1024=-252x+972$$

Přidat 252x na obě strany.

$$-256x+1024+252x=972$$

Sloučením -256x a 252x získáte -4x.

$$-4x+1024=972$$

Odečtěte 1024 od obou stran.

$$-4x=972-1024$$

Odečtěte 1024 od 972 a dostanete -52.

$$-4x=-52$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$x=\frac{-52}{-4}$$

Vydělte číslo -52 číslem -4 a dostanete 13.

$$x=13$$

Dosaďte 13 za x v rovnici \sqrt{x-4}-\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}=0.

$$\sqrt{13-4}-\sqrt{4\times 13-27}+\sqrt{13-9}=0$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=13 splňuje požadavky rovnice.

$$0=0$$

Rovnice \sqrt{x-4}=\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9} má jedinečné řešení.

$$x=13$$