Vyřešit sqrt{x+5}=x

$$\sqrt{ x+5 } =x$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 1}{2} \approx 2,791287847$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=x^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+5} na 2 získáte x+5.

$$x+5=x^{2}$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$x+5-x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-x^{2}+x+5=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, 1 za b a 5 za c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte číslo 1 na druhou.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslem 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+20}}{2\left(-1\right)}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny 20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -1 do skupiny \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-1}{-2}$$

Vydělte číslo -1+\sqrt{21} číslem -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{21} od čísla -1.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{-2}$$

Vydělte číslo -1-\sqrt{21} číslem -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Dosaďte \frac{1-\sqrt{21}}{2} za x v rovnici \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{1-\sqrt{21}}{2}+5}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte \frac{\sqrt{21}+1}{2} za x v rovnici \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{21}+1}{2}+5}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{\sqrt{21}+1}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Rovnice \sqrt{x+5}=x má jedinečné řešení.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$