Vyřešit sqrt{x+5}=x+4

$$\sqrt{ x+5 } = x+4$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}\approx -2,381966011$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(x+4\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+5} na 2 získáte x+5.

$$x+5=\left(x+4\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+4\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x+5=x^{2}+8x+16$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$x+5-x^{2}=8x+16$$

Odečtěte 8x od obou stran.

$$x+5-x^{2}-8x=16$$

Sloučením x a -8x získáte -7x.

$$-7x+5-x^{2}=16$$

Odečtěte 16 od obou stran.

$$-7x+5-x^{2}-16=0$$

Odečtěte 16 od 5 a dostanete -11.

$$-7x-11-x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-x^{2}-7x-11=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, -7 za b a -11 za c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte číslo -7 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslem -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-44}}{2\left(-1\right)}$$

Přidejte uživatele 49 do skupiny -44.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Opakem -7 je 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 7 do skupiny \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+7}{-2}$$

Vydělte číslo 7+\sqrt{5} číslem -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{5} od čísla 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{5}}{-2}$$

Vydělte číslo 7-\sqrt{5} číslem -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2} x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$

Dosaďte \frac{-\sqrt{5}-7}{2} za x v rovnici \sqrt{x+5}=x+4.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-7}{2}+5}=\frac{-\sqrt{5}-7}{2}+4$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{\sqrt{5}-7}{2} za x v rovnici \sqrt{x+5}=x+4.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-7}{2}+5}=\frac{\sqrt{5}-7}{2}+4$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{\sqrt{5}-7}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Rovnice \sqrt{x+5}=x+4 má jedinečné řešení.

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$