Vyřešit sqrt{7x-38}=2x-13

$$\sqrt{ 7x-38 } = 2x-13$$

Vyřešte pro: x

$$x=9$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{7x-38}\right)^{2}=\left(2x-13\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{7x-38} na 2 získáte 7x-38.

$$7x-38=\left(2x-13\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x-13\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$7x-38=4x^{2}-52x+169$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$7x-38-4x^{2}=-52x+169$$

Přidat 52x na obě strany.

$$7x-38-4x^{2}+52x=169$$

Sloučením 7x a 52x získáte 59x.

$$59x-38-4x^{2}=169$$

Odečtěte 169 od obou stran.

$$59x-38-4x^{2}-169=0$$

Odečtěte 169 od -38 a dostanete -207.

$$59x-207-4x^{2}=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$-4x^{2}+59x-207=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -4x^{2}+ax+bx-207. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=59 ab=-4\left(-207\right)=828$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 828 produktu.

$$1,828 2,414 3,276 4,207 6,138 9,92 12,69 18,46 23,36$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+828=829 2+414=416 3+276=279 4+207=211 6+138=144 9+92=101 12+69=81 18+46=64 23+36=59$$

Řešením je dvojice se součtem 59.

$$a=36 b=23$$

Zapište -4x^{2}+59x-207 jako: \left(-4x^{2}+36x\right)+\left(23x-207\right).

$$\left(-4x^{2}+36x\right)+\left(23x-207\right)$$

Koeficient 4x v prvním a -23 ve druhé skupině.

$$4x\left(-x+9\right)-23\left(-x+9\right)$$

Vytkněte společný člen -x+9 s využitím distributivnosti.

$$\left(-x+9\right)\left(4x-23\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte -x+9=0 a 4x-23=0.

$$x=9 x=\frac{23}{4}$$

Dosaďte 9 za x v rovnici \sqrt{7x-38}=2x-13.

$$\sqrt{7\times 9-38}=2\times 9-13$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=9 splňuje požadavky rovnice.

$$5=5$$

Dosaďte \frac{23}{4} za x v rovnici \sqrt{7x-38}=2x-13.

$$\sqrt{7\times \frac{23}{4}-38}=2\times \frac{23}{4}-13$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{23}{4} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Rovnice \sqrt{7x-38}=2x-13 má jedinečné řešení.

$$x=9$$