Vyřešit sqrt{6+sqrt{x+4}}=sqrt{2x-1}

$$\sqrt{ 6+ \sqrt{ x+4 } } = \sqrt{ 2x-1 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=5$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{x+4}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{6+\sqrt{x+4}} na 2 získáte 6+\sqrt{x+4}.

$$6+\sqrt{x+4}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x-1} na 2 získáte 2x-1.

$$6+\sqrt{x+4}=2x-1$$

Odečtěte hodnotu 6 od obou stran rovnice.

$$\sqrt{x+4}=2x-1-6$$

Odečtěte 6 od -1 a dostanete -7.

$$\sqrt{x+4}=2x-7$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+4} na 2 získáte x+4.

$$x+4=\left(2x-7\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x-7\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x+4=4x^{2}-28x+49$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$x+4-4x^{2}=-28x+49$$

Přidat 28x na obě strany.

$$x+4-4x^{2}+28x=49$$

Sloučením x a 28x získáte 29x.

$$29x+4-4x^{2}=49$$

Odečtěte 49 od obou stran.

$$29x+4-4x^{2}-49=0$$

Odečtěte 49 od 4 a dostanete -45.

$$29x-45-4x^{2}=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$-4x^{2}+29x-45=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -4x^{2}+ax+bx-45. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=29 ab=-4\left(-45\right)=180$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 180 produktu.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

Řešením je dvojice se součtem 29.

$$a=20 b=9$$

Zapište -4x^{2}+29x-45 jako: \left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right)$$

Koeficient 4x v prvním a -9 ve druhé skupině.

$$4x\left(-x+5\right)-9\left(-x+5\right)$$

Vytkněte společný člen -x+5 s využitím distributivnosti.

$$\left(-x+5\right)\left(4x-9\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte -x+5=0 a 4x-9=0.

$$x=5 x=\frac{9}{4}$$

Dosaďte 5 za x v rovnici \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=5 splňuje požadavky rovnice.

$$3=3$$

Dosaďte \frac{9}{4} za x v rovnici \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{\frac{9}{4}+4}}=\sqrt{2\times \frac{9}{4}-1}$$

Proveďte zjednodušení. x=\frac{9}{4} hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$\frac{1}{2}\times 34^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 14^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte 5 za x v rovnici \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=5 splňuje požadavky rovnice.

$$3=3$$

Rovnice \sqrt{\sqrt{x+4}+6}=\sqrt{2x-1} má jedinečné řešení.

$$x=5$$