Vyřešit sqrt{58+x}=x+5

$$\sqrt{ 58+x } =x+5$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{213} - 9}{2} \approx 2,79725976$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{58+x}\right)^{2}=\left(x+5\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{58+x} na 2 získáte 58+x.

$$58+x=\left(x+5\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+5\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$58+x=x^{2}+10x+25$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$58+x-x^{2}=10x+25$$

Odečtěte 10x od obou stran.

$$58+x-x^{2}-10x=25$$

Sloučením x a -10x získáte -9x.

$$58-9x-x^{2}=25$$

Odečtěte 25 od obou stran.

$$58-9x-x^{2}-25=0$$

Odečtěte 25 od 58 a dostanete 33.

$$33-9x-x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-x^{2}-9x+33=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, -9 za b a 33 za c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 33}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte číslo -9 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-1\right)\times 33}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+4\times 33}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslem 33.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+132}}{2\left(-1\right)}$$

Přidejte uživatele 81 do skupiny 132.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{213}}{2\left(-1\right)}$$

Opakem -9 je 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{213}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{9±\sqrt{213}}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{9±\sqrt{213}}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 9 do skupiny \sqrt{213}.

$$x=\frac{\sqrt{213}+9}{-2}$$

Vydělte číslo 9+\sqrt{213} číslem -2.

$$x=\frac{-\sqrt{213}-9}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{9±\sqrt{213}}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{213} od čísla 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{213}}{-2}$$

Vydělte číslo 9-\sqrt{213} číslem -2.

$$x=\frac{\sqrt{213}-9}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{-\sqrt{213}-9}{2} x=\frac{\sqrt{213}-9}{2}$$

Dosaďte \frac{-\sqrt{213}-9}{2} za x v rovnici \sqrt{58+x}=x+5.

$$\sqrt{58+\frac{-\sqrt{213}-9}{2}}=\frac{-\sqrt{213}-9}{2}+5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{-\sqrt{213}-9}{2} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 213^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 213^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{\sqrt{213}-9}{2} za x v rovnici \sqrt{58+x}=x+5.

$$\sqrt{58+\frac{\sqrt{213}-9}{2}}=\frac{\sqrt{213}-9}{2}+5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{\sqrt{213}-9}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 213^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 213^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Rovnice \sqrt{x+58}=x+5 má jedinečné řešení.

$$x=\frac{\sqrt{213}-9}{2}$$