Vyřešit sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=14$$

$$x=6$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x-3} na 2 získáte 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-5} na 2 získáte x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Odečtěte 5 od 4 a dostanete -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Odečtěte hodnotu -1+x od obou stran rovnice.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k -1+x, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Sečtením -3 a 1 získáte -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Sloučením 2x a -x získáte x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Výpočtem 4 na 2 získáte 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-5} na 2 získáte x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 16 číslem x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Odečtěte 16x od obou stran.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Sloučením -4x a -16x získáte -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Přidat 80 na obě strany.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Sečtením 4 a 80 získáte 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, součinitel x^{2}-20x+84 použijte vzorec x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-20 ab=84$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 84 produktu.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Řešením je dvojice se součtem -20.

$$a=-14 b=-6$$

Přepište rozložený výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomocí získaných hodnot.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-14=0 a x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Dosaďte 14 za x v rovnici \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=14 splňuje požadavky rovnice.

$$5=5$$

Dosaďte 6 za x v rovnici \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=6 splňuje požadavky rovnice.

$$3=3$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$