Vyřešit sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu \sqrt{1+x} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{1-x} na 2 získáte 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{1+x} na 2 získáte 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Sečtením 2 a 1 získáte 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Odečtěte hodnotu 3+x od obou stran rovnice.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 3+x, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Odečtěte 3 od 1 a dostanete -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Sloučením -x a -x získáte -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-2-2x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Výpočtem -2 na 2 získáte 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Vynásobením 4 a 2 získáte 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{1+x} na 2 získáte 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 8 číslem 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Odečtěte 8 od obou stran.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Odečtěte 8 od 4 a dostanete -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Odečtěte 8x od obou stran.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Sloučením 8x a -8x získáte 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Zvažte -1+x^{2}. Zapište -1+x^{2} jako: x^{2}-1^{2}. Rozdíl druhých mocnin lze rozložit pomocí pravidla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-1=0 a x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Dosaďte 1 za x v rovnici \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=1 splňuje požadavky rovnice.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte -1 za x v rovnici \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-1 splňuje požadavky rovnice.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$