Vyřešit sqrt{(2x-5)}-sqrt{(x-1)}=1

$$\sqrt{ (2x-5) } - \sqrt{ (x-1) } =1$$

Vyřešte pro: x

$$x=2\sqrt{5}+7\approx 11,472135955$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu -\sqrt{x-1} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{x-1}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{2x-5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x-5} na 2 získáte 2x-5.

$$2x-5=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-1} na 2 získáte x-1.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$

Odečtěte 1 od 1 a dostanete 0.

$$2x-5=2\sqrt{x-1}+x$$

Odečtěte hodnotu x od obou stran rovnice.

$$2x-5-x=2\sqrt{x-1}$$

Sloučením 2x a -x získáte x.

$$x-5=2\sqrt{x-1}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(x-5\right)^{2}=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x-5\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-10x+25=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$x^{2}-10x+25=4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-1} na 2 získáte x-1.

$$x^{2}-10x+25=4\left(x-1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x-1.

$$x^{2}-10x+25=4x-4$$

Odečtěte 4x od obou stran.

$$x^{2}-10x+25-4x=-4$$

Sloučením -10x a -4x získáte -14x.

$$x^{2}-14x+25=-4$$

Přidat 4 na obě strany.

$$x^{2}-14x+25+4=0$$

Sečtením 25 a 4 získáte 29.

$$x^{2}-14x+29=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -14 za b a 29 za c.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 29}}{2}$$

Umocněte číslo -14 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 29}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 29.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-116}}{2}$$

Přidejte uživatele 196 do skupiny -116.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 80.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Opakem -14 je 14.

$$x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 14 do skupiny 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+14}{2}$$

Vydělte číslo 14+4\sqrt{5} číslem 2.

$$x=2\sqrt{5}+7$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 4\sqrt{5} od čísla 14.

$$x=\frac{14-4\sqrt{5}}{2}$$

Vydělte číslo 14-4\sqrt{5} číslem 2.

$$x=7-2\sqrt{5}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=2\sqrt{5}+7 x=7-2\sqrt{5}$$

Dosaďte 2\sqrt{5}+7 za x v rovnici \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=2\sqrt{5}+7 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Dosaďte 7-2\sqrt{5} za x v rovnici \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(7-2\sqrt{5}\right)-5}-\sqrt{7-2\sqrt{5}-1}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=7-2\sqrt{5} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$-1=1$$

Dosaďte 2\sqrt{5}+7 za x v rovnici \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=2\sqrt{5}+7 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Rovnice \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}+1 má jedinečné řešení.

$$x=2\sqrt{5}+7$$