Vyřešit sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=sqrt{x^4+2{x}^2}

$$\sqrt{ { x }^{ 4 } +8 { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -1 } = \sqrt{ { x }^{ 4 } +2 { x }^{ 2 } }$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\approx -0,25-0,433012702i$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\approx -0,25+0,433012702i$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} na 2 získáte x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{4}+2x^{2}} na 2 získáte x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Odečtěte x^{4} od obou stran.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Sloučením x^{4} a -x^{4} získáte 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Odečtěte 2x^{2} od obou stran.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Sloučením 2x^{2} a -2x^{2} získáte 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -1 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 8. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=\frac{1}{2}$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 8x^{3}-1 číslem 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 a dostanete 4x^{2}+2x+1. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 4, b hodnotou 2 a c hodnotou 1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte 4x^{2}+2x+1=0 rovnice.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Dosaďte \frac{1}{2} za x v rovnici \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{1}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Dosaďte \frac{-\sqrt{3}i-1}{4} za x v rovnici \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} za x v rovnici \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} na 2 získáte x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{4}+2x^{2}} na 2 získáte x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Odečtěte x^{4} od obou stran.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Sloučením x^{4} a -x^{4} získáte 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Odečtěte 2x^{2} od obou stran.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Sloučením 2x^{2} a -2x^{2} získáte 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -1 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 8. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=\frac{1}{2}$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 8x^{3}-1 číslem 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 a dostanete 4x^{2}+2x+1. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 4, b hodnotou 2 a c hodnotou 1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{1}{2} za x v rovnici \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{1}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Rovnice \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} má jedinečné řešení.

$$x=\frac{1}{2}$$