Vyřešit sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Nejmenší společný násobek čísel 2 a 4 je 4. Převeďte \frac{1}{2} a \frac{1}{4} na zlomky se jmenovatelem 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Vzhledem k tomu, že \frac{2}{4} a \frac{1}{4} mají stejného jmenovatele, můžete je sečíst sečtením jejich čitatelů.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sečtením 2 a 1 získáte 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Nejmenší společný násobek čísel 4 a 8 je 8. Převeďte \frac{3}{4} a \frac{1}{8} na zlomky se jmenovatelem 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Vzhledem k tomu, že \frac{6}{8} a \frac{1}{8} mají stejného jmenovatele, můžete je sečíst sečtením jejich čitatelů.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sečtením 6 a 1 získáte 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Nejmenší společný násobek čísel 8 a 16 je 16. Převeďte \frac{7}{8} a \frac{1}{16} na zlomky se jmenovatelem 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Vzhledem k tomu, že \frac{14}{16} a \frac{1}{16} mají stejného jmenovatele, můžete je sečíst sečtením jejich čitatelů.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sečtením 14 a 1 získáte 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Výpočtem \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} na 2 získáte \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, \frac{1}{2} za b a \frac{15}{16} za c.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte zlomek \frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslem \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Připočítejte \frac{1}{4} ke \frac{15}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -\frac{1}{2} do skupiny 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Vydělte číslo \frac{3}{2} číslem -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 2 od čísla -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Vydělte číslo -\frac{5}{2} číslem -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Dosaďte -\frac{3}{4} za x v rovnici \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-\frac{3}{4} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Dosaďte \frac{5}{4} za x v rovnici \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{5}{4} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Rovnice \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x má jedinečné řešení.

$$x=\frac{5}{4}$$