Vyřešit sqrt{y+1}+sqrt{2y-5}=3

$$\sqrt { y + 1 } + \sqrt { 2 y - 5 } = 3$$

Vyřešte pro: y

$$y=3$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu \sqrt{2y-5} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{y+1}=3-\sqrt{2y-5}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{y+1}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{2y-5}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{y+1} na 2 získáte y+1.

$$y+1=\left(3-\sqrt{2y-5}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(3-\sqrt{2y-5}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$y+1=9-6\sqrt{2y-5}+\left(\sqrt{2y-5}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2y-5} na 2 získáte 2y-5.

$$y+1=9-6\sqrt{2y-5}+2y-5$$

Odečtěte 5 od 9 a dostanete 4.

$$y+1=4-6\sqrt{2y-5}+2y$$

Odečtěte hodnotu 4+2y od obou stran rovnice.

$$y+1-\left(4+2y\right)=-6\sqrt{2y-5}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 4+2y, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$y+1-4-2y=-6\sqrt{2y-5}$$

Odečtěte 4 od 1 a dostanete -3.

$$y-3-2y=-6\sqrt{2y-5}$$

Sloučením y a -2y získáte -y.

$$-y-3=-6\sqrt{2y-5}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-y-3\right)^{2}=\left(-6\sqrt{2y-5}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-y-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$y^{2}+6y+9=\left(-6\sqrt{2y-5}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-6\sqrt{2y-5}\right)^{2}.

$$y^{2}+6y+9=\left(-6\right)^{2}\left(\sqrt{2y-5}\right)^{2}$$

Výpočtem -6 na 2 získáte 36.

$$y^{2}+6y+9=36\left(\sqrt{2y-5}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2y-5} na 2 získáte 2y-5.

$$y^{2}+6y+9=36\left(2y-5\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 36 číslem 2y-5.

$$y^{2}+6y+9=72y-180$$

Odečtěte 72y od obou stran.

$$y^{2}+6y+9-72y=-180$$

Sloučením 6y a -72y získáte -66y.

$$y^{2}-66y+9=-180$$

Přidat 180 na obě strany.

$$y^{2}-66y+9+180=0$$

Sečtením 9 a 180 získáte 189.

$$y^{2}-66y+189=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, součinitel y^{2}-66y+189 použijte vzorec y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-66 ab=189$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 189 produktu.

$$-1,-189 -3,-63 -7,-27 -9,-21$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-189=-190 -3-63=-66 -7-27=-34 -9-21=-30$$

Řešením je dvojice se součtem -66.

$$a=-63 b=-3$$

Přepište rozložený výraz \left(y+a\right)\left(y+b\right) pomocí získaných hodnot.

$$\left(y-63\right)\left(y-3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte y-63=0 a y-3=0.

$$y=63 y=3$$

Dosaďte 63 za y v rovnici \sqrt{y+1}+\sqrt{2y-5}=3.

$$\sqrt{63+1}+\sqrt{2\times 63-5}=3$$

Proveďte zjednodušení. y=63 hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$19=3$$

Dosaďte 3 za y v rovnici \sqrt{y+1}+\sqrt{2y-5}=3.

$$\sqrt{3+1}+\sqrt{2\times 3-5}=3$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota y=3 splňuje požadavky rovnice.

$$3=3$$

Rovnice \sqrt{y+1}=-\sqrt{2y-5}+3 má jedinečné řešení.

$$y=3$$