Vyřešit sqrt{x}+sqrt{x+1}=3

$$\sqrt { x } + \sqrt { x + 1 } = 3$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1,777777778$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu \sqrt{x+1} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{x}=3-\sqrt{x+1}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x} na 2 získáte x.

$$x=\left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x=9-6\sqrt{x+1}+\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+1} na 2 získáte x+1.

$$x=9-6\sqrt{x+1}+x+1$$

Sečtením 9 a 1 získáte 10.

$$x=10-6\sqrt{x+1}+x$$

Přidat 6\sqrt{x+1} na obě strany.

$$x+6\sqrt{x+1}=10+x$$

Odečtěte x od obou stran.

$$x+6\sqrt{x+1}-x=10$$

Sloučením x a -x získáte 0.

$$6\sqrt{x+1}=10$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$\sqrt{x+1}=\frac{10}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{10}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$\sqrt{x+1}=\frac{5}{3}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$x+1=\frac{25}{9}$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$x+1-1=\frac{25}{9}-1$$

Odečtením čísla 1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$x=\frac{25}{9}-1$$

Odečtěte číslo 1 od čísla \frac{25}{9}.

$$x=\frac{16}{9}$$

Dosaďte \frac{16}{9} za x v rovnici \sqrt{x}+\sqrt{x+1}=3.

$$\sqrt{\frac{16}{9}}+\sqrt{\frac{16}{9}+1}=3$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{16}{9} splňuje požadavky rovnice.

$$3=3$$

Rovnice \sqrt{x}=-\sqrt{x+1}+3 má jedinečné řešení.

$$x=\frac{16}{9}$$