Vyřešit sqrt{x^2-2x+10}+2x+1=0

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 2 x + 10 } + 2 x + 1 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-3$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu 2x+1 od obou stran rovnice.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-\left(2x+1\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 2x+1, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x^{2}-2x+10}\right)^{2}=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}-2x+10} na 2 získáte x^{2}-2x+10.

$$x^{2}-2x+10=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-2x-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+10=4x^{2}+4x+1$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$x^{2}-2x+10-4x^{2}=4x+1$$

Sloučením x^{2} a -4x^{2} získáte -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+10=4x+1$$

Odečtěte 4x od obou stran.

$$-3x^{2}-2x+10-4x=1$$

Sloučením -2x a -4x získáte -6x.

$$-3x^{2}-6x+10=1$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$-3x^{2}-6x+10-1=0$$

Odečtěte 1 od 10 a dostanete 9.

$$-3x^{2}-6x+9=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$-x^{2}-2x+3=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -x^{2}+ax+bx+3. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-2 ab=-3=-3$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Jediná taková dvojice představuje systémové řešení.

$$a=1 b=-3$$

Zapište -x^{2}-2x+3 jako: \left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Koeficient x v prvním a 3 ve druhé skupině.

$$x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Vytkněte společný člen -x+1 s využitím distributivnosti.

$$\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte -x+1=0 a x+3=0.

$$x=1 x=-3$$

Dosaďte 1 za x v rovnici \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0.

$$\sqrt{1^{2}-2+10}+2\times 1+1=0$$

Proveďte zjednodušení. x=1 hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$6=0$$

Dosaďte -3 za x v rovnici \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0.

$$\sqrt{\left(-3\right)^{2}-2\left(-3\right)+10}+2\left(-3\right)+1=0$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-3 splňuje požadavky rovnice.

$$0=0$$

Rovnice \sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1 má jedinečné řešení.

$$x=-3$$