Vyřešit sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}-1} na 2 získáte x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x+1} na 2 získáte 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Odečtěte 2x od obou stran.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Odečtěte 1 od -1 a dostanete -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -2 za b a -2 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Umocněte číslo -2 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Přidejte uživatele 4 do skupiny 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Opakem -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 2 do skupiny 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Vydělte číslo 2+2\sqrt{3} číslem 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 2\sqrt{3} od čísla 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Vydělte číslo 2-2\sqrt{3} číslem 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Dosaďte \sqrt{3}+1 za x v rovnici \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\sqrt{3}+1 splňuje požadavky rovnice.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte 1-\sqrt{3} za x v rovnici \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=1-\sqrt{3} splňuje požadavky rovnice.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Vyřešte pro: x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}-1} na 2 získáte x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x+1} na 2 získáte 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Odečtěte 2x od obou stran.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Odečtěte 1 od -1 a dostanete -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -2 za b a -2 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Umocněte číslo -2 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Přidejte uživatele 4 do skupiny 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Opakem -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 2 do skupiny 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Vydělte číslo 2+2\sqrt{3} číslem 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 2\sqrt{3} od čísla 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Vydělte číslo 2-2\sqrt{3} číslem 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Dosaďte \sqrt{3}+1 za x v rovnici \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\sqrt{3}+1 splňuje požadavky rovnice.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte 1-\sqrt{3} za x v rovnici \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Výraz \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} není definován, protože radicand nemůže být záporný.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Rovnice \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} má jedinečné řešení.

$$x=\sqrt{3}+1$$