Vyřešit sqrt{x^2+5x+1}+1=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 5 x + 1 } + 1 = 2 x$$

Vyřešte pro: x

$$x=3$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$\sqrt{x^{2}+5x+1}=2x-1$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x^{2}+5x+1}\right)^{2}=\left(2x-1\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}+5x+1} na 2 získáte x^{2}+5x+1.

$$x^{2}+5x+1=\left(2x-1\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+5x+1=4x^{2}-4x+1$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$x^{2}+5x+1-4x^{2}=-4x+1$$

Sloučením x^{2} a -4x^{2} získáte -3x^{2}.

$$-3x^{2}+5x+1=-4x+1$$

Přidat 4x na obě strany.

$$-3x^{2}+5x+1+4x=1$$

Sloučením 5x a 4x získáte 9x.

$$-3x^{2}+9x+1=1$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$-3x^{2}+9x+1-1=0$$

Odečtěte 1 od 1 a dostanete 0.

$$-3x^{2}+9x=0$$

Vytkněte x před závorku.

$$x\left(-3x+9\right)=0$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x=0 a -3x+9=0.

$$x=0 x=3$$

Dosaďte 0 za x v rovnici \sqrt{x^{2}+5x+1}+1=2x.

$$\sqrt{0^{2}+5\times 0+1}+1=2\times 0$$

Proveďte zjednodušení. x=0 hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$2=0$$

Dosaďte 3 za x v rovnici \sqrt{x^{2}+5x+1}+1=2x.

$$\sqrt{3^{2}+5\times 3+1}+1=2\times 3$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=3 splňuje požadavky rovnice.

$$6=6$$

Rovnice \sqrt{x^{2}+5x+1}=2x-1 má jedinečné řešení.

$$x=3$$