Vyřešit sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Vyřešte pro: x

$$x=-2$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu -7 od obou stran rovnice.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}+2x+9} na 2 získáte x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x+7\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Sloučením x^{2} a -4x^{2} získáte -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Odečtěte 28x od obou stran.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Sloučením 2x a -28x získáte -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Odečtěte 49 od obou stran.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Odečtěte 49 od 9 a dostanete -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -3x^{2}+ax+bx-40. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 120 produktu.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Řešením je dvojice se součtem -26.

$$a=-6 b=-20$$

Zapište -3x^{2}-26x-40 jako: \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Koeficient 3x v prvním a 20 ve druhé skupině.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Vytkněte společný člen -x-2 s využitím distributivnosti.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte -x-2=0 a 3x+20=0.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Dosaďte -2 za x v rovnici \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-2 splňuje požadavky rovnice.

$$-4=-4$$

Dosaďte -\frac{20}{3} za x v rovnici \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Proveďte zjednodušení. x=-\frac{20}{3} hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

Rovnice \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 má jedinečné řešení.

$$x=-2$$