Vyřešit sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=-5$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+6} na 2 získáte x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{9x+70} na 2 získáte 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Sloučením x a 9x získáte 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Sečtením 6 a 70 získáte 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Výpočtem -2 na 2 získáte 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+9} na 2 získáte x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Odečtěte hodnotu 10x+76 od obou stran rovnice.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 10x+76, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Sloučením 4x a -10x získáte -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Odečtěte 76 od 36 a dostanete -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Výpočtem -2 na 2 získáte 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+6} na 2 získáte x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{9x+70} na 2 získáte 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 4x+24 každým členem výrazu 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Sloučením 280x a 216x získáte 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-6x-40\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Odečtěte 36x^{2} od obou stran.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Sloučením 36x^{2} a -36x^{2} získáte 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Odečtěte 480x od obou stran.

$$496x+1680-480x=1600$$

Sloučením 496x a -480x získáte 16x.

$$16x+1680=1600$$

Odečtěte 1680 od obou stran.

$$16x=1600-1680$$

Odečtěte 1680 od 1600 a dostanete -80.

$$16x=-80$$

Vydělte obě strany hodnotou 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Vydělte číslo -80 číslem 16 a dostanete -5.

$$x=-5$$

Dosaďte -5 za x v rovnici \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-5 splňuje požadavky rovnice.

$$-4=-4$$

Rovnice \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} má jedinečné řešení.

$$x=-5$$