Vyřešit sqrt{x+5}+sqrt{2x+8}=1

$$\sqrt { x + 5 } + \sqrt { 2 x + 8 } = 1$$

Vyřešte pro: x

$$x=-4$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu \sqrt{2x+8} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{x+5}=1-\sqrt{2x+8}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+5} na 2 získáte x+5.

$$x+5=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x+8} na 2 získáte 2x+8.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+2x+8$$

Sečtením 1 a 8 získáte 9.

$$x+5=9-2\sqrt{2x+8}+2x$$

Odečtěte hodnotu 9+2x od obou stran rovnice.

$$x+5-\left(9+2x\right)=-2\sqrt{2x+8}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 9+2x, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$x+5-9-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Odečtěte 9 od 5 a dostanete -4.

$$x-4-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Sloučením x a -2x získáte -x.

$$-x-4=-2\sqrt{2x+8}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-x-4\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-x-4\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Výpočtem -2 na 2 získáte 4.

$$x^{2}+8x+16=4\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x+8} na 2 získáte 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=4\left(2x+8\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=8x+32$$

Odečtěte 8x od obou stran.

$$x^{2}+8x+16-8x=32$$

Sloučením 8x a -8x získáte 0.

$$x^{2}+16=32$$

Odečtěte 32 od obou stran.

$$x^{2}+16-32=0$$

Odečtěte 32 od 16 a dostanete -16.

$$x^{2}-16=0$$

Zvažte x^{2}-16. Zapište x^{2}-16 jako: x^{2}-4^{2}. Rozdíl druhých mocnin lze rozložit pomocí pravidla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-4=0 a x+4=0.

$$x=4 x=-4$$

Dosaďte 4 za x v rovnici \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{4+5}+\sqrt{2\times 4+8}=1$$

Proveďte zjednodušení. x=4 hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$7=1$$

Dosaďte -4 za x v rovnici \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{-4+5}+\sqrt{2\left(-4\right)+8}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-4 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Rovnice \sqrt{x+5}=-\sqrt{2x+8}+1 má jedinečné řešení.

$$x=-4$$