Vyřešit sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=-2$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+3} na 2 získáte x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+6} na 2 získáte x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Sloučením x a x získáte 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Sečtením 3 a 6 získáte 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+11} na 2 získáte x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Odečtěte hodnotu 2x+9 od obou stran rovnice.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 2x+9, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Sloučením x a -2x získáte -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Odečtěte 9 od 11 a dostanete 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Roznásobte \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+3} na 2 získáte x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+6} na 2 získáte x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 4x+12 každým členem výrazu x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Sloučením 24x a 12x získáte 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-x+2\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Sloučením 4x^{2} a -x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Přidat 4x na obě strany.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Sloučením 36x a 4x získáte 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Odečtěte 4 od obou stran.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Odečtěte 4 od 72 a dostanete 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 3x^{2}+ax+bx+68. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 204 produktu.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Řešením je dvojice se součtem 40.

$$a=6 b=34$$

Zapište 3x^{2}+40x+68 jako: \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Koeficient 3x v prvním a 34 ve druhé skupině.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Vytkněte společný člen x+2 s využitím distributivnosti.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x+2=0 a 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Dosaďte -\frac{34}{3} za x v rovnici \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Výraz \sqrt{-\frac{34}{3}+3} není definován, protože radicand nemůže být záporný.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Dosaďte -2 za x v rovnici \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-2 splňuje požadavky rovnice.

$$3=3$$

Rovnice \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} má jedinečné řešení.

$$x=-2$$