Vyřešit sqrt{a^2-4a+20}=sqrt{a}

$$\sqrt { a ^ { 2 } - 4 a + 20 } = \sqrt { a }$$

Vyřešte pro: a

$$a=2\sqrt{5}e^{\arctan(\frac{\sqrt{55}}{5})i}\approx 2,5+3,708099244i$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{a^{2}-4a+20}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{a^{2}-4a+20} na 2 získáte a^{2}-4a+20.

$$a^{2}-4a+20=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{a} na 2 získáte a.

$$a^{2}-4a+20=a$$

Odečtěte a od obou stran.

$$a^{2}-4a+20-a=0$$

Sloučením -4a a -a získáte -5a.

$$a^{2}-5a+20=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -5 za b a 20 za c.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 20}}{2}$$

Umocněte číslo -5 na druhou.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 20}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 20.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-80}}{2}$$

Přidejte uživatele 25 do skupiny -80.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-55}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -55.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{55}i}{2}$$

Opakem -5 je 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}$$

Teď vyřešte rovnici a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 5 do skupiny i\sqrt{55}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2}$$

Teď vyřešte rovnici a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo i\sqrt{55} od čísla 5.

$$a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Dosaďte \frac{5+\sqrt{55}i}{2} za a v rovnici \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{5+\sqrt{55}i}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5+\sqrt{55}i}{2}+20}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{55}i}{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{2}\left(10+2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte \frac{-\sqrt{55}i+5}{2} za a v rovnici \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}\right)^{2}-4\times \frac{-\sqrt{55}i+5}{2}+20}=\sqrt{\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{2}\left(10-2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$