Vyřešit sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Vyřešte pro: x

$$x=2$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{7x+67} na 2 získáte 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x+5\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Odečtěte 20x od obou stran.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Sloučením 7x a -20x získáte -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Odečtěte 25 od obou stran.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Odečtěte 25 od 67 a dostanete 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -4x^{2}+ax+bx+42. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -168 produktu.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Řešením je dvojice se součtem -13.

$$a=8 b=-21$$

Zapište -4x^{2}-13x+42 jako: \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Koeficient 4x v prvním a 21 ve druhé skupině.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Vytkněte společný člen -x+2 s využitím distributivnosti.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte -x+2=0 a 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Dosaďte 2 za x v rovnici \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=2 splňuje požadavky rovnice.

$$9=9$$

Dosaďte -\frac{21}{4} za x v rovnici \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-\frac{21}{4} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

Rovnice \sqrt{7x+67}=2x+5 má jedinečné řešení.

$$x=2$$