Vyřešit sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

Vyřešte pro: x

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788,589491312$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu -\sqrt{5x+4} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{6x-1} na 2 získáte 6x-1.

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{5x+4} na 2 získáte 5x+4.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

Sečtením 81 a 4 získáte 85.

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

Odečtěte hodnotu 85+5x od obou stran rovnice.

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 85+5x, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Odečtěte 85 od -1 a dostanete -86.

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Sloučením 6x a -5x získáte x.

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x-86\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Výpočtem 18 na 2 získáte 324.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{5x+4} na 2 získáte 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 324 číslem 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

Odečtěte 1620x od obou stran.

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

Sloučením -172x a -1620x získáte -1792x.

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

Odečtěte 1296 od obou stran.

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

Odečtěte 1296 od 7396 a dostanete 6100.

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -1792 za b a 6100 za c.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

Umocněte číslo -1792 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 6100.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

Přidejte uživatele 3211264 do skupiny -24400.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 3186864.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

Opakem -1792 je 1792.

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 1792 do skupiny 36\sqrt{2459}.

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

Vydělte číslo 1792+36\sqrt{2459} číslem 2.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 36\sqrt{2459} od čísla 1792.

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

Vydělte číslo 1792-36\sqrt{2459} číslem 2.

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

Dosaďte 18\sqrt{2459}+896 za x v rovnici \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=18\sqrt{2459}+896 splňuje požadavky rovnice.

$$9=9$$

Dosaďte 896-18\sqrt{2459} za x v rovnici \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=896-18\sqrt{2459} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

Dosaďte 18\sqrt{2459}+896 za x v rovnici \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=18\sqrt{2459}+896 splňuje požadavky rovnice.

$$9=9$$

Rovnice \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 má jedinečné řešení.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$